Propiedades de los Sistema Lineales Invariantes en el Tiempo II

Mathedemo
Sistemas LTI con y sin memoria
Un sistema se considera sin memoria si su salida en cualquier tiempo depende solo del valor de la entrada en ese mismo instante de tiempo. Considerando el caso en el cual la respuesta al impulso $h[n]$ es no nula solo en el instante $n=0$, es decir, $h[n]=k\delta[n]$. Para este caso particular, la salida de la ecuación $y[n] = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {x[k]h[n - k]} $ dará como resultado $y[n]=kx[n]$.
En el caso de sistemas continuos, teniendo una respuesta al impulso de la misma naturaleza $h(t)=0$ solo en instantes diferentes de 0, es decir $h(t)=k\delta(t)$, la salida del sistemas también es semejante al caso anterior, siendo $y(t)=kx(t)$.
En los dos casos anteriores, cuando $k=1$, el sistema es denominado sistema identidad.
De aquí se genera una útil propiedad: toda señal que convolucione con un impulso, da como resultado la misma señal, es decir:
\begin{equation}\label{eq:sis_men_1} \begin{matrix} {x[n]*\delta [n] = x[n]} \cr {x(t)*\delta (t) = x(t)} \cr \end{matrix} \end{equation}
Estas ecuaciones se reducen a las propiedades de selección de los impulsos unitarios:
\begin{equation}\label{eq:sis_men_2} \begin{matrix} {x[n] = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {x[k]\delta [n - k]} } \cr {x(t) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {x(\tau )\delta (t - \tau )} d\tau } \cr \end{matrix} \end{equation}
Una interpretación que se deriva de las ecuaciones precedentes que la convolución de cualquier señal con un impulso desplazado, dará como salida del sistema la misma señal, pero desplazada en la posición del impulso.
\begin{equation}\label{eq:sis_men_3} \begin{matrix} {x[n]*\delta [n-n_0] = x[n-n_0]} \cr {x(t)*\delta (t-t_0) = x(t-t_0)} \cr \end{matrix} \end{equation}
Sistemas LTI invertibles
Un sistema es invertible si existe un sistema inverso que al ser colocado en cascada (o serial) da como salida la entrada del primer sistema. Suponiendo que la secuencia $x[n]$ entra a un sistema con una respuesta al impulso $h_1[n]$ y la respuesta de este sistema ingresa a otro sistema con respuesta al impulso $h_2[n]$ y el resultado o salida de este último sistema en la misma señal de entrada $x[n]$, se dice que el sistema $h_1[n]$ es invertible. En otras palabras $h_1[n]*h_2[n]=\delta[n]$ resulta en el sistema identidad.
Causalidad para sistemas LTI
Cuando un sistema es causal, su salida $y[n]$ depende solo de valores presentes y pasados de la entrada. Es decir, la salida no debe depender de $x[k]$ para $k>n$. Observando la ecuación de convolución discreta, notemos que se trata de la multiplicación de la función $x[k]$ y $h[n-k]$. Si todos los coeficientes de $h[n-k]$ que multiplican valores de $x[k]$ para $k>n$ son cero, el sistema es causal. Esto se logra siempre que $h[n]=0$ para $n<0$.
De esta forma, existe una simplificación en las ecuaciones de cálculo de la convolución:
\begin{equation}\label{eq:sis_causa_1} \begin{matrix} {y[n] = \sum\limits_{k = - \infty }^n {x[k]h[n - k]}} \cr {y[n] = \sum\limits_{k = 0}^\infty {h[k]x[n - k]} } \cr \end{matrix} \end{equation} \begin{equation}\label{eq:sis_causa_2} \begin{matrix} {y(t) = \int\limits_{ - \infty }^t {x(\tau )h(t - \tau )} d\tau } \cr {y(t) = \int\limits_0^\infty {h(\tau )x(t - \tau )} d\tau } \cr \end{matrix} \end{equation}
Estabilidad para sistemas LTI
El sistema es estable cuando una entrada finita o acotada produce una salida finita o acotada. En particular, el sistema es estable si $\sum\limits_{k = - \infty }^\infty {\left| {h[k]} \right| < \infty } $ o $\int\limits_{ - \infty }^\infty {\left| {h(t)} \right| < \infty } $.
Referencia: Oppenheim, A., Willsky,A., Nawab, S. (1996). Signals and Systems (2nd Ed.). Prentice-Hall. Upper Saddle River, NJ, USA.