Convolución discreta

Una de las propiedades más importantes de los sistemas es la linealidad. Esta propiedad a su vez se divide en dos propiedades conocidas como propiedad aditiva y propiedad de escalamiento. La propiedad aditiva establece que si al sistema ingresa la suma de varias señales, la respuesta del sistema será la suma de las respuestas a cada una de las entradas individuales.

La propiedad de escalamiento u homogeneidad establece que si una señal $x(t)$ tiene como respuesta una señal $y(t)$, al ser escalada la entrada (o multiplicada por una constante) $\alpha x(t)$, su salida será también escalada por la misa constante $\alpha y(t)$. Juntas, la propiedad de escalamiento y la aditiva se conocer como propiedad de superposición, la cual se sintetiza en la siguiente ecuación.

$$\begin{equation}\label{eq:superpos_1} \alpha {x_1}\left( t \right) + \beta {x_2}\left( t \right) \to \alpha {y_1}\left( t \right) + \beta {y_2}\left( t \right) \end{equation}$$

Otra de las propiedad importante de los sistemas es la propiedad de invarianza la tiempo, detallada en la siguiente ecuación.

$$\begin{equation}\label{eq:inv_tiempo} \begin{matrix} {x\left( t \right) \to y\left( t \right)} \cr {x\left( {t - {t_0}} \right) \to y\left( {t - {t_0}} \right)} \cr \end{matrix} \end{equation}$$

En sí, un sistema es invariante al tiempo cuando una desplazamiento en la señal de entrada produce el mismo desplazamiento en la señal de salida o respuesta del sistema. Es decir, el sistema no cambia sus características a lo largo del tiempo.

Cuando un sistema cumple con la propiedad de linealidad (o propiedad de superposición) y la propiedad de ser invariante al tiempo se conoce como sistema lineal e invariante al tiempo, abreviado como SLTI. Muchos sistemas empleados en comunicaciones son SLTI. De ahí la importancia de conocer las características de este tipo de sistema y la forma de encontrar la respuesta del mismo o salida del sistema.

Para un sistema discreto, la forma de encontrar la salida de este sistema es a través de una operación conocida como suma de convolución. Para llegar a este resultado, lo primero es representar la señal discreta $x[n]$ como una combinación lineal del impulsos desplazados ponderados.

$$\begin{equation}\label{eq:impulso_des_pond} x\left[ n \right] = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ k \right]\delta [n - k]} \end{equation}$$

Dado que el sistema es lineal, la respuesta será también una combinación lineal, pero de las respuestas a cada una de las entradas individuales. Como la señal ha sido representada como una suma de señales impulso, la respuesta a esta señal se asigna de la siguiente manera:

$$\begin{equation}\label{eq:impulso_des_pond2} \delta [n - k] \to {h_k}[n] \end{equation}$$

De esa forma, la salida total del sistema será la superposición de las salidas a cada una de las entradas.

$$\begin{equation}\label{eq:impulso_des_pond3} y\left[ n \right] = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ k \right]{h_k}[n]} \end{equation}$$

Si el sistema es invariante al tiempo, la respuesta a un impulso desplazado será la misma respuesta a un impulso en $n=0$ simplemente desplazada.

$$\begin{equation}\label{eq:impulso_des_pond4} \delta [n - k] \to {h_0}[n - k] \end{equation}$$

De esa forma, la salida del sistema es calculada con la siguiente ecuación, que es conocida como la suma de convolución o convolución discreta.

$$\begin{equation}\label{eq:impulso_des_pond5} y\left[ n \right] = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ k \right]h[n - k]} \end{equation}$$ Referencia: Oppenheim, A., Willsky,A., Nawab, S. (1996). Signals and Systems (2nd Ed.). Prentice-Hall. Upper Saddle River, NJ, USA.