Exponencial periódica compleja

Una señal $x(t)$ es periódica si se repite su formato a lo largo del tiempo. Matemáticamente, una señal es periódica si cumple $x(t)=x(t+T)$ para todo tiempo $t$, donde $T$ es el periodo de la señal. Este periodo es un número mayor que cero y está definido como el mínimo tiempo para el cual $x(t)=x(t+T)$ se cumple.

Una clase particular de señales continuas periódicas son las exponenciales complejas $e^{j\omega_0 t}$, donde $\omega_0$ es la frecuencia angular medida en radianes por segundo (rad/s). Esta señal es periódica con periodo $T=2\pi/\omega_0$. La frecuencia angular $\omega_0$ también se puede expresar en hertz (Hz) usando la relación $\omega_0=2\pi f$, donde $f$ es la frecuencia nominal. Si usamos la relación de Euler $e^{j\omega_0t}=cos(\omega_0t)+jsen(\omega_0t)$ podemos notar que en sí una exponencial compleja es un par de señales senoidales.

Esta señal exponencial compleja es muy importante en el procesamiento de una señal debido a que es una auto-función (o eigen-función) de los sistemas lineales e invariantes al tiempo (SLTI). Es decir, si una exponencial compleja continua entra a un SLTI, la respuesta de este sistema es la misma exponencial compleja simplemente multiplicada por una constante compleja $H(s)$ (llamado eigen-valor). Esto lo veremos en la parte del análisis de Fourier de señales.

En el caso de las exponenciales complejas discretas $x[n]=e^{j\omega_0n}$, no toda exponencial compleja es periódica. Se debe cumplir que $\omega_0/2\pi$ debe ser un número racional $M/N$ , donde $N$ es el periodo que es igual a $N=\omega_0/2\pi$. Otra diferencia con su contra parte continua es que esta señal es periódica cada $2\pi$, es decir $e^{j\omega_0n}=e^{j(\omega_0+2\pi)n}$. Conforme la frecuencia angular va de 0 a $\pi$, la frecuencia de esta señal aumenta y mientras va de $\pi$ hasta $2\pi$ la frecuencia disminuye. Es así, que si una señal exponencial compleja tiene su concentración de frecuencia en torno de 0, $2\pi$ o múltiplos pares de $\pi$ se dice que es una señal de baja frecuencia. Si su frecuencia está concentrada en torno de $\pi$ o múltiplos impares de $\pi$, es una señal de alta frecuencia.