Propiedades de los Sistema Lineales Invariantes en el Tiempo

Mathedemo
La convolución es una operación que involucra tres señales: $x(t)$ o $x[n]$ como entrada al sistema, $h(t)$ o $h[n]$ como respuesta al impulso y $y(t)$ o $y[n]$ como salida o respuesta del sistema. Para un SLTI, éste es caracterizado por completo por la función $h(t)$ o $h[n]$. En otras palabras, la convolución es la operación que permite calcular la salida (o respuesta) de cualquier sistema lineal e invariante al tiempo para cualquier entrada a través de la respuesta al impulso.
La convolución posee varias propiedades.
Propiedad conmutativa
La convolución es una operación conmutativa, es decir, da el mismo resultado convolucionar la entrada con la respuesta al impulso que la respuesta al impulso por la entrada. Esta propiedad se muestra en las siguientes ecuaciones.
\begin{equation}\label{eq:conv_continua_pr} x[n]*h[n] = h[n]*x[n] = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {h[k]x[n - k]} \end{equation} \begin{equation}\label{eq:conv_disc_pr} x(t)*h(t) = h(t)*x(t) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {h(\tau )x(t - \tau )d\tau } \end{equation}
Esta propiedad es de gran utilidad cuando se realiza la convolución de forma gráfica debido a qué se puede seleccionar la señal más fácil de dibujar para que sea la que se desplace (aquella con argumento $t-\tau$ o $k-n$).
Propiedad distributiva
La propiedad distributiva mostrada en las ecuaciones siguientes, permite reemplazar un sistema paralelo en un equivalente de un solo sistema.
\begin{equation}\label{eq:conv_continua_dist} x[n]*({h_1}[n] + {h_2}[n]) = x[n]*{h_1}[n] + x[n]*{h_2}[n] \end{equation} \begin{equation}\label{eq:conv_disc_dist} x(t)*({h_1}(t) + {h_2}(t)) = x(t)*{h_1}(t) + x(t)*{h_2}(t) \end{equation}
Propiedad asociativa
Esta propiedad, mostrada en las ecuaciones siguientes, muestra que la respuesta del sistema completo no depende del orden de los sistemas en cascada.
\begin{equation}\label{eq:conv_continua_asoc} x[n]*({h_1}[n]*{h_2}[n]) = (x[n]*{h_1}[n])*{h_2}[n] \end{equation} \begin{equation}\label{eq:conv_disc_asoc} x(t)*({h_1}(t)*{h_2}(t)) = (x(t)*{h_1}(t))*{h_2}(t) \end{equation} Referencia: Oppenheim, A., Willsky,A., Nawab, S. (1996). Signals and Systems (2nd Ed.). Prentice-Hall. Upper Saddle River, NJ, USA.

Convolución continua

Mathedemo
La convolución en tiempo continuo deriva en una integral. Semejante al caso discreto, el primer paso para llegar a esta importante ecuación es representar la señal continua $x(t)$ como una combinación lineal de impulsos ponderados desplazados. Recordando que el impulso continuo es definido como el límite de la señal $\delta_{\Delta}(t)$, cada función rectangular $\delta_{\Delta}(t)$ tiene un área $x(k\Delta)\delta_{\Delta}(t-k\Delta)\Delta$, siendo que tiene una base $\Delta$ y una altura igual a la amplitud de la señal en ese punto en particular. De ese modo, la señal escalonada $\tilde x\left( t \right)$ queda representada con la siguiente ecuación:
\begin{equation}\label{eq:x_escalonada} \tilde x\left( t \right) = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {x(k\Delta ){\delta _\Delta }\left( {t - k\Delta } \right)} \Delta \end{equation}
Cuando en esta última ecuación el valor de $\Delta$ tiende al infinito, la sumatoria se convierte en una integral, $\Delta$ en un diferencial y $\delta_{\Delta}$ deriva en la función impulso unitario continuo $\delta(t)$. Por tanto, la señal escalonada $\tilde x\left( t \right)$ en el límite representa la señal $x(t)$.
\begin{equation}\label{eq:x_escalonada1} x(t) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta \to 0} \tilde x\left( t \right) \end{equation} \begin{equation}\label{eq:x_escalonada2} x(t) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta \to 0} \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {x(k\Delta ){\delta _\Delta }\left( {t - k\Delta } \right)} \Delta = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x(\tau )} \delta (t - \tau )d\tau \end{equation} \begin{equation}\label{eq:x_escalonada3} x(t) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x(\tau )} \delta (t - \tau )d\tau \end{equation}
Esta ecuación representa la señal continua $x(t)$ como una combinación lineal de impulsos desplazados ponderados. También se conoce como propiedad de selección y es una representación de la señal $x(t)$ como la suma de impulsos continuos ponderados y desplazados. (La ponderación significa que el impulso es multiplicado por una constante.)
Podemos mostrar que esta ecuación representa a $x(t)$ cuando $\Delta$ tiende a $0$.
\begin{equation}\label{eq:x_de_tau} \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x(\tau )\delta (t - \tau )d\tau } = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x(t)\delta (t - \tau )d\tau } = x(t)\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\delta (t - \tau )d\tau } = x(t) \end{equation}
Notar que aplicamos la propiedad de que si una función se multiplica por un impulso desplazados, el resultado será la función evaluada en el desplazamiento del impulso multiplicada por el impulso ($x(t)\delta (t - {t_0}) = x({t_0})\delta (t - {t_0})$). Una vez hecho esto, basta notar que $x(t)$ sale de la integral ya que no es función de $\tau$ y la integral del impulso es igual a 1.
Una vez que la señal de entrada $x(t)$ ha sido descompuesta o representada como una combinación lineal de impulsos continuos desplazados y ponderados, se puede calcular la respuesta de un sistema LTI a esta entrada $x(t)$. Denominamos $\hat y(t)$ como la salida o respuesta del sistema cuando la entrada es la señal $\tilde x$. Ésta respuesta corresponde a la superposición de las respuestas a las versiones escaladas y desplazadas de $\delta_\Delta(t)$, mostrada en la siguiente ecuación.
\begin{equation}\label{eq:resp_delta} {\delta _\Delta }\left( {t - k\Delta } \right) \to {{\hat h}_{k\Delta }}\left( t \right) \end{equation} \begin{equation}\label{eq:y_sombrero} \hat y(t) = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {x(k\Delta )} {{\hat h}_{k\Delta }}\left( t \right)\Delta \end{equation}
Dado que $x(t) = \mathop {lim}\limits_{\Delta \to 0 } \hat x(t)$, en consecuencia $y(t) = \mathop {lim}\limits_{\Delta \to 0 } \hat y(t)$. Cuando $\Delta \to 0$, la duración de ${\delta _\Delta }\left( {t - k\Delta } \right)$ no es significativa, así, la respuesta a esta señal será la respuesta a un impulso unitario en el mismo instante de tiempo. De esta forma ${{\hat h}_{k\Delta }}\left( t \right)$ se convierte en la respuesta al impulso en el límite. Si $\delta (t - \tau ) \to {h_\tau }(t)$, entonces la salida queda determinada por la ecuación siguiente.
\begin{equation}\label{eq:y_limite} y(t) = \mathop {lim}\limits_{\Delta \to 0} \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {x(k\Delta )} {{\hat h}_{k\Delta }}\left( t \right)\Delta \end{equation}
Conforme $\Delta \to 0$, la sumatoria se convierte en una integral, dando como resultado la ecuación mostrada a continuación.
\begin{equation}\label{eq:conv_temp} y(t) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {x(\tau )} {h_\tau }(t)d\tau \end{equation}
Esta ecuación representa la superposición de las respuestas para un sistema lineal a cada una de las entradas cuando $x(t)$ es representado como la ecuación $\tilde x$.
Si el sistemas lineal también es un sistema invariante al tiempo, las respuesta a impulsos desplazados serán respuestas desplazadas del impulso $\delta(t)$, conforme la ecuación siguiente.
\begin{equation}\label{eq:sist_inv_temp} {h_\tau }(t) = {h_0}(t - \tau ) \end{equation}
En otras palabras, cuando el sistema es lineal e invariante al tiempo (SLTI), la respuesta de este sistema cuando la entrada es $\delta(t-\tau)$, es una versión desplazada en $\tau$ de la respuesta del sistema cuando la entrada es $\delta(t)$ (ecuación siguiente).
\begin{equation}\label{eq:delta_tau} \delta (t - \tau ) \to h(t - \tau ) \end{equation}
De esa forma, a partir de la linealidad del sistema y añadiendo la invarianza al tiempo, llegamos a la integral de convolución mostrada en la ecuación siguiente, con la cual podemos afirmar que un SLTI está por completo caracterizado si conocemos su respuesta al impulso $h(t)$.
\begin{equation}\label{eq:conv_continua} y(t) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {x(\tau )} h(t - \tau )d\tau \end{equation}
Una notación alternativa de la convolución es mostrada en la siguiente ecuación.
\begin{equation}\label{eq:conv_continua_alta} y(t) = x(t)*h(t) \end{equation} Referencia: Oppenheim, A., Willsky,A., Nawab, S. (1996). Signals and Systems (2nd Ed.). Prentice-Hall. Upper Saddle River, NJ, USA.

Convolución discreta

Convolución discreta
Una de las propiedades más importantes de los sistemas es la linealidad. Esta propiedad a su vez se divide en dos propiedades conocidas como propiedad aditiva y propiedad de escalamiento. La propiedad aditiva establece que si al sistema ingresa la suma de varias señales, la respuesta del sistema será la suma de las respuestas a cada una de las entradas individuales.
La propiedad de escalamiento u homogeneidad establece que si una señal $x(t)$ tiene como respuesta una señal $y(t)$, al ser escalada la entrada (o multiplicada por una constante) $\alpha x(t)$, su salida será también escalada por la misa constante $\alpha y(t)$. Juntas, la propiedad de escalamiento y la aditiva se conocer como propiedad de superposición, la cual se sintetiza en la siguiente ecuación.
\begin{equation}\label{eq:superpos_1} \alpha {x_1}\left( t \right) + \beta {x_2}\left( t \right) \to \alpha {y_1}\left( t \right) + \beta {y_2}\left( t \right) \end{equation}
Otra de las propiedad importante de los sistemas es la propiedad de invarianza la tiempo, detallada en la siguiente ecuación.
\begin{equation}\label{eq:inv_tiempo} \begin{matrix} {x\left( t \right) \to y\left( t \right)} \cr {x\left( {t - {t_0}} \right) \to y\left( {t - {t_0}} \right)} \cr \end{matrix} \end{equation}
En sí, un sistema es invariante al tiempo cuando una desplazamiento en la señal de entrada produce el mismo desplazamiento en la señal de salida o respuesta del sistema. Es decir, el sistema no cambia sus características a lo largo del tiempo.
Cuando un sistema cumple con la propiedad de linealidad (o propiedad de superposición) y la propiedad de ser invariante al tiempo se conoce como sistema lineal e invariante al tiempo, abreviado como SLTI. Muchos sistemas empleados en comunicaciones son SLTI. De ahí la importancia de conocer las características de este tipo de sistema y la forma de encontrar la respuesta del mismo o salida del sistema.
Para un sistema discreto, la forma de encontrar la salida de este sistema es a través de una operación conocida como suma de convolución. Para llegar a este resultado, lo primero es representar la señal discreta $x[n]$ como una combinación lineal del impulsos desplazados ponderados.
\begin{equation}\label{eq:impulso_des_pond} x\left[ n \right] = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ k \right]\delta [n - k]} \end{equation}
Dado que el sistema es lineal, la respuesta será también una combinación lineal, pero de las respuestas a cada una de las entradas individuales. Como la señal ha sido representada como una suma de señales impulso, la respuesta a esta señal se asigna de la siguiente manera:
\begin{equation}\label{eq:impulso_des_pond2} \delta [n - k] \to {h_k}[n] \end{equation}
De esa forma, la salida total del sistema será la superposición de las salidas a cada una de las entradas.
\begin{equation}\label{eq:impulso_des_pond3} y\left[ n \right] = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ k \right]{h_k}[n]} \end{equation}
Si el sistema es invariante al tiempo, la respuesta a un impulso desplazado será la misma respuesta a un impulso en $n=0$ simplemente desplazada.
\begin{equation}\label{eq:impulso_des_pond4} \delta [n - k] \to {h_0}[n - k] \end{equation}
De esa forma, la salida del sistema es calculada con la siguiente ecuación, que es conocida como la suma de convolución o convolución discreta.
\begin{equation}\label{eq:impulso_des_pond5} y\left[ n \right] = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ k \right]h[n - k]} \end{equation} Referencia: Oppenheim, A., Willsky,A., Nawab, S. (1996). Signals and Systems (2nd Ed.). Prentice-Hall. Upper Saddle River, NJ, USA.

Impulso y escalón unitarios

Impulso y escalón unitario La estrategia para procesar o tratar una señal es representar (o descomponer) dicha señal en una combinación lineal de señales base. En el análisis de la señal en el tiempo, dicha señal base es el impulso unitario $\delta[n]$ (para tiempo discreto) y $\delta(t)$ para tiempo continuo. Un impulso discreto está definido conforme la siguiente ecuación. \begin{equation}\label{eq:impul_discreto} \delta \left[ n \right] = \left\{ \begin{matrix} {1,} & {n = 0} \cr {0,} & {n \ne 0} \cr \end{matrix} \right. \end{equation} Es decir, un impulso es una señal que tiene un valor no nulo apenas en un instante de tiempo.
El escalón unitario discreto es aquella señal que puede considerarse constante a partir del instante 0. Se denota como $u[n]$. \begin{equation}\label{eq:esca_discreto} u\left[ n \right] = \left\{ \begin{matrix} {1,} & {n \ge 0} \cr {0,} & {n < 0} \cr \end{matrix} \right. \end{equation} En la gráfica de la Figura siguiente del escalón se observa que de alguna forma puede ser representado como un conjunto de señales impulso.
Es así, que el escalón unitario discreto puede generarse a partir del impulso unitario a través de la siguiente ecuación. \begin{equation}\label{eq:esca_discreto_imp1} u[n] = \sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\delta \left[ {n - k} \right]} \end{equation} En esta última ecuación, el impulso se va desplazando dentro de una ventana fija del sumatorio. Una expresión alternativa es presentada en la siguiente ecuación, donde la ventana del sumatorio es móvil y el impulso fijo. \begin{equation}\label{eq:esca_discreto_imp2} u[n] = \sum\limits_{m = - \infty }^n {\delta [m]} \end{equation} Un impulso puede obtenerse a partir de la primera diferencia del escalón a través de la ecuación siguiente. \begin{equation}\label{eq:esca_discreto_imp3} \delta \left[ n \right] = u[n] - u[n - 1] \end{equation} En tiempo continuo, el escalón e impulso unitario tienen una representación semejante. Un escalón unitario continuo está definido conforme la ecuación siguiente. \begin{equation}\label{eq:esca_continuo} u(t) = \left\{ \begin{matrix} {1,} & {t > 0} \cr {0,} & {t < 0} \cr \end{matrix} \right. \end{equation} Esta señal es constante a partir de $t>0$.
Para definir al impulso unitario, usamos la función $\delta_{\delta}(t)$ detallada en la ecuación siguiente. \begin{equation}\label{eq:delta_sub_Delta} {\delta _\Delta }(t) = \left\{ \begin{matrix} {{1 \over \Delta },} & {0 < t < \Delta } \cr {0,} & {otro{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} valor} \cr \end{matrix} \right. \end{equation} Esta señal $\delta_{\delta}(t)$ tiene siempre área igual a uno para todo valor de $\Delta$. De esa forma, el impulso unitario se define como el límite de esta señal cuando $\Delta$ tiende a cero. \begin{equation}\label{eq:delta_sub_Delta2} \delta (t) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta \to 0} {\delta _\Delta }(t) \end{equation} La gráfica del impulso unitario continuo es semejante al impulso discreto, con la diferencia que el valor que se colocar cerca de la flecha es su área.
Tal como el caso discreto, el impulso se puede obtener a partir del escalón a través de la derivada usando la ecuación siguiente. \begin{equation}\label{eq:delta_escalon_1} \delta (t) = {{\partial u(t)} \over {\partial t}} \end{equation} Y el escalón a través del impulso con las ecuaciones siguientes. \begin{equation}\label{eq:delta_escalon_2} u(t) = \int\limits_{ - \infty }^t {\delta (\tau )} d\tau \end{equation} \begin{equation}\label{eq:delta_escalon_3} u(t) = \int\limits_0^\infty {\delta (t - \sigma )} d\sigma \end{equation} Referencia: Oppenheim, A., Willsky,A., Nawab, S. (1996). Signals and Systems (2nd Ed.). Prentice-Hall. Upper Saddle River, NJ, USA.

Exponencial periódica compleja

Exponencial periódica compleja
Una señal $x(t)$ es periódica si se repite su formato a lo largo del tiempo. Matemáticamente, una señal es periódica si cumple $x(t)=x(t+T)$ para todo tiempo $t$, donde $T$ es el periodo de la señal. Este periodo es un número mayor que cero y está definido como el mínimo tiempo para el cual $x(t)=x(t+T)$ se cumple.
Una clase particular de señales continuas periódicas son las exponenciales complejas $e^{j\omega_0 t}$, donde $\omega_0$ es la frecuencia angular medida en radianes por segundo (rad/s). Esta señal es periódica con periodo $T=2\pi/\omega_0$. La frecuencia angular $\omega_0$ también se puede expresar en hertz (Hz) usando la relación $\omega_0=2\pi f$, donde $f$ es la frecuencia nominal. Si usamos la relación de Euler $e^{j\omega_0t}=cos(\omega_0t)+jsen(\omega_0t)$ podemos notar que en sí una exponencial compleja es un par de señales senoidales.
Esta señal exponencial compleja es muy importante en el procesamiento de una señal debido a que es una auto-función (o eigen-función) de los sistemas lineales e invariantes al tiempo (SLTI). Es decir, si una exponencial compleja continua entra a un SLTI, la respuesta de este sistema es la misma exponencial compleja simplemente multiplicada por una constante compleja $H(s)$ (llamado eigen-valor). Esto lo veremos en la parte del análisis de Fourier de señales.
En el caso de las exponenciales complejas discretas $x[n]=e^{j\omega_0n}$, no toda exponencial compleja es periódica. Se debe cumplir que $\omega_0/2\pi$ debe ser un número racional $M/N$ , donde $N$ es el periodo que es igual a $N=\omega_0/2\pi$. Otra diferencia con su contra parte continua es que esta señal es periódica cada $2\pi$, es decir $e^{j\omega_0n}=e^{j(\omega_0+2\pi)n}$. Conforme la frecuencia angular va de 0 a $\pi$, la frecuencia de esta señal aumenta y mientras va de $\pi$ hasta $2\pi$ la frecuencia disminuye. Es así, que si una señal exponencial compleja tiene su concentración de frecuencia en torno de 0, $2\pi$ o múltiplos pares de $\pi$ se dice que es una señal de baja frecuencia. Si su frecuencia está concentrada en torno de $\pi$ o múltiplos impares de $\pi$, es una señal de alta frecuencia.

Transformación de la variable independiente

En las señales en tiempo continuo $x\left( t \right)$ (variable independiente $t$) o tiempo discreto $x\left[ n \right]$ (variable independiente $n$) se modifica de tres maneras su variable independiente.
1. Desplazamiento o corrimiento($x\left( {t - {t_0}} \right)$): dividida en adelanto y atraso dependiendo si el valor de ${t_0}$ es mayor o menor que cero (es decir, si es positivo o negativo).
Considerando un escalón unitario discreto, una señal $x[n-3]$ corresponderá a un escalón atrasado tres muestras. En sí, esta nueva señal tendrá un desplazamiento hacia la derecha del eje. Este tipo de transformación es denominada atraso de la señal.
El adelanto en el tiempo de una señal se muestra en la siguiente figura, donde se grafica la función $x[n+3]$
Para el tiempo continuo $t$ es un comportamiento semejante: un adelante corresponde a un corrimiento de la señal hacia la izquierda. Si el corrimiento es hacia la derecha, se considera que la señal ha sido atrasada.
2. Reflejo o inversión($x(-t)$ o $x[-n]$): esta transformación mapea toda la información desde 0 al otro lado del eje. Es semejante a colocar un espejo sobre el eje $y$ y observar el "reflejo" de la señal o dibujar la señal en una hoja de papel y observarla desde la parte de atrás de la hoja. Así, las señales de las figuras siguientes son el reflejo una de otra.
3. Escalamiento($x(\alpha t)$): esta transformación corresponde a comprimir la señal o expandirla en el tiempo. La señal se comprime cuando $\alpha$ es mayor que uno y se expande cuando $\alpha$ es fracción.
Considerando la señal rectangular de la figura siguiente:
Una transformación por $\alpha=2$ produce en la señal una reducción en su duración.
Una transformación por $\alpha=0.5$ produce en la señal una ampliación en su duración.
Referencia: Oppenheim, A., Willsky,A., Nawab, S. (1996). Signals and Systems (2nd Ed.). Prentice-Hall. Upper Saddle River, NJ, USA.

Papito no nació para las ocho horas

Sin duda uno de los mejores descubrimientos del 2013 fue Cuarteto de Nos. Una combinación extraordinaria de rima, humor, sarcasmo y realismo hacen de muchas de las canciones de este grupo uruguayo verdaderas joyas de la música. Y una de ellas, Pobre Papá, me dejó pensando en las ocho horas de trabajo diario. Así que un día usé el fenomenal Python y línea tras línea conseguí un código que marca el horario de salida del trabajo.

Este sencillo código lo he venido usando ya bastante tiempo. Le doy F5 todos los días.

Leyendo el extraordinario libro Abre tu mente a los números de la Dra. Barbara Oakley descubrí una idea interesante: el trabajo duro combinado con un ocio saludable es una combinación que mejora nuestra productividad en los estudios (o el trabajo).

Así que aquí está: saber la hora exacta de salida de esas ocho horas que se aprovecharon usando el modo concentrado y el modo difuso...

hora_ent_m   =7
minuto_ent_m =32
hora_sal_m   =12
minuto_sal_m =44
hora_ent_t   =14
minuto_ent_t =33

print(str(hora_ent_m)+':'+str(minuto_ent_m))
print(str(hora_sal_m)+':'+str(minuto_sal_m))
print(str(hora_ent_t)+':'+str(minuto_ent_t))

hora_m=hora_sal_m-hora_ent_m;
minu_m=minuto_sal_m-minuto_ent_m;
if minu_m<0:
    hora_m=hora_m-1;
    minu_m=60+minu_m;
print('-'*40)
print('Horas manana: '+str(hora_m)+':'+str(minu_m))
#Restan
rth=7-hora_m
rtm=60-minu_m
if rtm>=60:
    rtm=00;
    rth=rth+1
if rtm<10:
    print('Horas restantes: '+str(rth)+':0'+str(rtm))
else:
    print('Horas restantes: '+str(rth)+':'+str(rtm))
#Salida
hora_salida=hora_ent_t+rth
minuto_salida=minuto_ent_t+rtm
if minuto_salida>=60:
    minuto_salida=minuto_salida-60
    hora_salida=hora_salida+1
if minuto_salida<10:
    print('Hora de salida: '+str(hora_salida)+':0'+str(minuto_salida))
else:
    print('Hora de salida: '+str(hora_salida)+':'+str(minuto_salida))
Aquí el resultado: