Impulso y escalón unitarios

Impulso y escalón unitario La estrategia para procesar o tratar una señal es representar (o descomponer) dicha señal en una combinación lineal de señales base. En el análisis de la señal en el tiempo, dicha señal base es el impulso unitario $\delta[n]$ (para tiempo discreto) y $\delta(t)$ para tiempo continuo. Un impulso discreto está definido conforme la siguiente ecuación. \begin{equation}\label{eq:impul_discreto} \delta \left[ n \right] = \left\{ \begin{matrix} {1,} & {n = 0} \cr {0,} & {n \ne 0} \cr \end{matrix} \right. \end{equation} Es decir, un impulso es una señal que tiene un valor no nulo apenas en un instante de tiempo.
El escalón unitario discreto es aquella señal que puede considerarse constante a partir del instante 0. Se denota como $u[n]$. \begin{equation}\label{eq:esca_discreto} u\left[ n \right] = \left\{ \begin{matrix} {1,} & {n \ge 0} \cr {0,} & {n < 0} \cr \end{matrix} \right. \end{equation} En la gráfica de la Figura siguiente del escalón se observa que de alguna forma puede ser representado como un conjunto de señales impulso.
Es así, que el escalón unitario discreto puede generarse a partir del impulso unitario a través de la siguiente ecuación. \begin{equation}\label{eq:esca_discreto_imp1} u[n] = \sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\delta \left[ {n - k} \right]} \end{equation} En esta última ecuación, el impulso se va desplazando dentro de una ventana fija del sumatorio. Una expresión alternativa es presentada en la siguiente ecuación, donde la ventana del sumatorio es móvil y el impulso fijo. \begin{equation}\label{eq:esca_discreto_imp2} u[n] = \sum\limits_{m = - \infty }^n {\delta [m]} \end{equation} Un impulso puede obtenerse a partir de la primera diferencia del escalón a través de la ecuación siguiente. \begin{equation}\label{eq:esca_discreto_imp3} \delta \left[ n \right] = u[n] - u[n - 1] \end{equation} En tiempo continuo, el escalón e impulso unitario tienen una representación semejante. Un escalón unitario continuo está definido conforme la ecuación siguiente. \begin{equation}\label{eq:esca_continuo} u(t) = \left\{ \begin{matrix} {1,} & {t > 0} \cr {0,} & {t < 0} \cr \end{matrix} \right. \end{equation} Esta señal es constante a partir de $t>0$.
Para definir al impulso unitario, usamos la función $\delta_{\delta}(t)$ detallada en la ecuación siguiente. \begin{equation}\label{eq:delta_sub_Delta} {\delta _\Delta }(t) = \left\{ \begin{matrix} {{1 \over \Delta },} & {0 < t < \Delta } \cr {0,} & {otro{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} valor} \cr \end{matrix} \right. \end{equation} Esta señal $\delta_{\delta}(t)$ tiene siempre área igual a uno para todo valor de $\Delta$. De esa forma, el impulso unitario se define como el límite de esta señal cuando $\Delta$ tiende a cero. \begin{equation}\label{eq:delta_sub_Delta2} \delta (t) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta \to 0} {\delta _\Delta }(t) \end{equation} La gráfica del impulso unitario continuo es semejante al impulso discreto, con la diferencia que el valor que se colocar cerca de la flecha es su área.
Tal como el caso discreto, el impulso se puede obtener a partir del escalón a través de la derivada usando la ecuación siguiente. \begin{equation}\label{eq:delta_escalon_1} \delta (t) = {{\partial u(t)} \over {\partial t}} \end{equation} Y el escalón a través del impulso con las ecuaciones siguientes. \begin{equation}\label{eq:delta_escalon_2} u(t) = \int\limits_{ - \infty }^t {\delta (\tau )} d\tau \end{equation} \begin{equation}\label{eq:delta_escalon_3} u(t) = \int\limits_0^\infty {\delta (t - \sigma )} d\sigma \end{equation} Referencia: Oppenheim, A., Willsky,A., Nawab, S. (1996). Signals and Systems (2nd Ed.). Prentice-Hall. Upper Saddle River, NJ, USA.

No hay comentarios.:

Publicar un comentario