Versión actualizada del manual de GUI en Matlab.
Esta nueva versión ha estado por mucho tiempo dentro de una carpeta escondida del PC. Luego de diez largos años llega la versión actualizada del Manual de GUI en Matlab. En el 2006, cuando apareció la primera versión, no existía un material que explique cómo crear una GUI en Matlab. De hecho, ni en YouTube existían buenos tutoriales. Y fue en ese entorno que salió ese modesto manual. No me esperaba que llegara a ser un documento de referencia para programar en Matlab, pero así fue.
Contiene correcciones de los códigos de la versión previa más el reajuste de funciones que han ido cambiando de versión en versión de Matlab.
Propiedades de los Sistema Lineales Invariantes en el Tiempo II
Sistemas LTI con y sin memoria
Un sistema se considera sin memoria si su salida en cualquier tiempo depende solo del valor de la entrada en ese mismo instante de tiempo. Considerando el caso en el cual la respuesta al impulso $h[n]$ es no nula solo en el instante $n=0$, es decir, $h[n]=k\delta[n]$. Para este caso particular, la salida de la ecuación $y[n] = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {x[k]h[n - k]} $ dará como resultado $y[n]=kx[n]$.
En el caso de sistemas continuos, teniendo una respuesta al impulso de la misma naturaleza $h(t)=0$ solo en instantes diferentes de 0, es decir $h(t)=k\delta(t)$, la salida del sistemas también es semejante al caso anterior, siendo $y(t)=kx(t)$.
En los dos casos anteriores, cuando $k=1$, el sistema es denominado sistema identidad.
De aquí se genera una útil propiedad: toda señal que convolucione con un impulso, da como resultado la misma señal, es decir:
\begin{equation}\label{eq:sis_men_1}
\begin{matrix}
{x[n]*\delta [n] = x[n]} \cr
{x(t)*\delta (t) = x(t)} \cr
\end{matrix}
\end{equation}
Estas ecuaciones se reducen a las propiedades de selección de los impulsos unitarios:
\begin{equation}\label{eq:sis_men_2}
\begin{matrix}
{x[n] = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {x[k]\delta [n - k]} } \cr
{x(t) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {x(\tau )\delta (t - \tau )} d\tau } \cr
\end{matrix}
\end{equation}
Una interpretación que se deriva de las ecuaciones precedentes que la convolución de cualquier señal con un impulso desplazado, dará como salida del sistema la misma señal, pero desplazada en la posición del impulso.
\begin{equation}\label{eq:sis_men_3}
\begin{matrix}
{x[n]*\delta [n-n_0] = x[n-n_0]} \cr
{x(t)*\delta (t-t_0) = x(t-t_0)} \cr
\end{matrix}
\end{equation}
Sistemas LTI invertibles
Un sistema es invertible si existe un sistema inverso que al ser colocado en cascada (o serial) da como salida la entrada del primer sistema. Suponiendo que la secuencia $x[n]$ entra a un sistema con una respuesta al impulso $h_1[n]$ y la respuesta de este sistema ingresa a otro sistema con respuesta al impulso $h_2[n]$ y el resultado o salida de este último sistema en la misma señal de entrada $x[n]$, se dice que el sistema $h_1[n]$ es invertible. En otras palabras $h_1[n]*h_2[n]=\delta[n]$ resulta en el sistema identidad.
Causalidad para sistemas LTI
Cuando un sistema es causal, su salida $y[n]$ depende solo de valores presentes y pasados de la entrada. Es decir, la salida no debe depender de $x[k]$ para $k>n$. Observando la ecuación de convolución discreta, notemos que se trata de la multiplicación de la función $x[k]$ y $h[n-k]$. Si todos los coeficientes de $h[n-k]$ que multiplican valores de $x[k]$ para $k>n$ son cero, el sistema es causal. Esto se logra siempre que $h[n]=0$ para $n<0$.
De esta forma, existe una simplificación en las ecuaciones de cálculo de la convolución:
\begin{equation}\label{eq:sis_causa_1}
\begin{matrix}
{y[n] = \sum\limits_{k = - \infty }^n {x[k]h[n - k]}} \cr
{y[n] = \sum\limits_{k = 0}^\infty {h[k]x[n - k]} } \cr
\end{matrix}
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:sis_causa_2}
\begin{matrix}
{y(t) = \int\limits_{ - \infty }^t {x(\tau )h(t - \tau )} d\tau } \cr
{y(t) = \int\limits_0^\infty {h(\tau )x(t - \tau )} d\tau } \cr
\end{matrix}
\end{equation}
Estabilidad para sistemas LTI
El sistema es estable cuando una entrada finita o acotada produce una salida finita o acotada. En particular, el sistema es estable si $\sum\limits_{k = - \infty }^\infty {\left| {h[k]} \right| < \infty } $ o $\int\limits_{ - \infty }^\infty {\left| {h(t)} \right| < \infty } $.
Referencia: Oppenheim, A., Willsky,A., Nawab, S. (1996). Signals and Systems (2nd Ed.). Prentice-Hall. Upper Saddle River, NJ, USA.
Propiedades de los Sistema Lineales Invariantes en el Tiempo I
La convolución es una operación que involucra tres señales: $x(t)$ o $x[n]$ como entrada al sistema, $h(t)$ o $h[n]$ como respuesta al impulso y $y(t)$ o $y[n]$ como salida o respuesta del sistema. Para un SLTI, éste es caracterizado por completo por la función $h(t)$ o $h[n]$. En otras palabras, la convolución es la operación que permite calcular la salida (o respuesta) de cualquier sistema lineal e invariante al tiempo para cualquier entrada a través de la respuesta al impulso.
La convolución posee varias propiedades.
Propiedad conmutativa
La convolución es una operación conmutativa, es decir, da el mismo resultado convolucionar la entrada con la respuesta al impulso que la respuesta al impulso por la entrada. Esta propiedad se muestra en las siguientes ecuaciones.
\begin{equation}\label{eq:conv_continua_pr}
x[n]*h[n] = h[n]*x[n] = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {h[k]x[n - k]}
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:conv_disc_pr}
x(t)*h(t) = h(t)*x(t) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {h(\tau )x(t - \tau )d\tau }
\end{equation}
Esta propiedad es de gran utilidad cuando se realiza la convolución de forma gráfica debido a qué se puede seleccionar la señal más fácil de dibujar para que sea la que se desplace (aquella con argumento $t-\tau$ o $k-n$).
Propiedad distributiva
La propiedad distributiva mostrada en las ecuaciones siguientes, permite reemplazar un sistema paralelo en un equivalente de un solo sistema.
\begin{equation}\label{eq:conv_continua_dist}
x[n]*({h_1}[n] + {h_2}[n]) = x[n]*{h_1}[n] + x[n]*{h_2}[n]
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:conv_disc_dist}
x(t)*({h_1}(t) + {h_2}(t)) = x(t)*{h_1}(t) + x(t)*{h_2}(t)
\end{equation}
Propiedad asociativa
Esta propiedad, mostrada en las ecuaciones siguientes, muestra que la respuesta del sistema completo no depende del orden de los sistemas en cascada.
\begin{equation}\label{eq:conv_continua_asoc}
x[n]*({h_1}[n]*{h_2}[n]) = (x[n]*{h_1}[n])*{h_2}[n]
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:conv_disc_asoc}
x(t)*({h_1}(t)*{h_2}(t)) = (x(t)*{h_1}(t))*{h_2}(t)
\end{equation}
Referencia: Oppenheim, A., Willsky,A., Nawab, S. (1996). Signals and Systems (2nd Ed.). Prentice-Hall. Upper Saddle River, NJ, USA.
Convolución continua
La convolución en tiempo continuo deriva en una integral. Semejante al caso discreto, el primer paso para llegar a esta importante ecuación es representar la señal continua $x(t)$ como una combinación lineal de impulsos ponderados desplazados. Recordando que el impulso continuo es definido como el límite de la señal $\delta_{\Delta}(t)$, cada función rectangular $\delta_{\Delta}(t)$ tiene un área $x(k\Delta)\delta_{\Delta}(t-k\Delta)\Delta$, siendo que tiene una base $\Delta$ y una altura igual a la amplitud de la señal en ese punto en particular. De ese modo, la señal escalonada $\tilde x\left( t \right)$ queda representada con la siguiente ecuación:
\begin{equation}\label{eq:x_escalonada}
\tilde x\left( t \right) = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {x(k\Delta ){\delta _\Delta }\left( {t - k\Delta } \right)} \Delta
\end{equation}
Cuando en esta última ecuación el valor de $\Delta$ tiende al infinito, la sumatoria se convierte en una integral, $\Delta$ en un diferencial y $\delta_{\Delta}$ deriva en la función impulso unitario continuo $\delta(t)$. Por tanto, la señal escalonada $\tilde x\left( t \right)$ en el límite representa la señal $x(t)$.
\begin{equation}\label{eq:x_escalonada1}
x(t) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta \to 0} \tilde x\left( t \right)
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:x_escalonada2}
x(t) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta \to 0} \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {x(k\Delta ){\delta _\Delta }\left( {t - k\Delta } \right)} \Delta = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x(\tau )} \delta (t - \tau )d\tau
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:x_escalonada3}
x(t) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x(\tau )} \delta (t - \tau )d\tau
\end{equation}
Esta ecuación representa la señal continua $x(t)$ como una combinación lineal de impulsos desplazados ponderados. También se conoce como propiedad de selección y es una representación de la señal $x(t)$ como la suma de impulsos continuos ponderados y desplazados. (La ponderación significa que el impulso es multiplicado por una constante.)
Podemos mostrar que esta ecuación representa a $x(t)$ cuando $\Delta$ tiende a $0$.
\begin{equation}\label{eq:x_de_tau}
\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x(\tau )\delta (t - \tau )d\tau } = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x(t)\delta (t - \tau )d\tau } = x(t)\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\delta (t - \tau )d\tau } = x(t)
\end{equation}
Notar que aplicamos la propiedad de que si una función se multiplica por un impulso desplazados, el resultado será la función evaluada en el desplazamiento del impulso multiplicada por el impulso ($x(t)\delta (t - {t_0}) = x({t_0})\delta (t - {t_0})$). Una vez hecho esto, basta notar que $x(t)$ sale de la integral ya que no es función de $\tau$ y la integral del impulso es igual a 1.
Una vez que la señal de entrada $x(t)$ ha sido descompuesta o representada como una combinación lineal de impulsos continuos desplazados y ponderados, se puede calcular la respuesta de un sistema LTI a esta entrada $x(t)$. Denominamos $\hat y(t)$ como la salida o respuesta del sistema cuando la entrada es la señal $\tilde x$. Ésta respuesta corresponde a la superposición de las respuestas a las versiones escaladas y desplazadas de $\delta_\Delta(t)$, mostrada en la siguiente ecuación.
\begin{equation}\label{eq:resp_delta}
{\delta _\Delta }\left( {t - k\Delta } \right) \to {{\hat h}_{k\Delta }}\left( t \right)
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:y_sombrero}
\hat y(t) = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {x(k\Delta )} {{\hat h}_{k\Delta }}\left( t \right)\Delta
\end{equation}
Dado que $x(t) = \mathop {lim}\limits_{\Delta \to 0 } \hat x(t)$, en consecuencia $y(t) = \mathop {lim}\limits_{\Delta \to 0 } \hat y(t)$. Cuando $\Delta \to 0$, la duración de ${\delta _\Delta }\left( {t - k\Delta } \right)$ no es significativa, así, la respuesta a esta señal será la respuesta a un impulso unitario en el mismo instante de tiempo. De esta forma ${{\hat h}_{k\Delta }}\left( t \right)$ se convierte en la respuesta al impulso en el límite. Si $\delta (t - \tau ) \to {h_\tau }(t)$, entonces la salida queda determinada por la ecuación siguiente.
\begin{equation}\label{eq:y_limite}
y(t) = \mathop {lim}\limits_{\Delta \to 0} \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {x(k\Delta )} {{\hat h}_{k\Delta }}\left( t \right)\Delta
\end{equation}
Conforme $\Delta \to 0$, la sumatoria se convierte en una integral, dando como resultado la ecuación mostrada a continuación.
\begin{equation}\label{eq:conv_temp}
y(t) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {x(\tau )} {h_\tau }(t)d\tau
\end{equation}
Esta ecuación representa la superposición de las respuestas para un sistema lineal a cada una de las entradas cuando $x(t)$ es representado como la ecuación $\tilde x$.
Si el sistemas lineal también es un sistema invariante al tiempo, las respuesta a impulsos desplazados serán respuestas desplazadas del impulso $\delta(t)$, conforme la ecuación siguiente.
\begin{equation}\label{eq:sist_inv_temp}
{h_\tau }(t) = {h_0}(t - \tau )
\end{equation}
En otras palabras, cuando el sistema es lineal e invariante al tiempo (SLTI), la respuesta de este sistema cuando la entrada es $\delta(t-\tau)$, es una versión desplazada en $\tau$ de la respuesta del sistema cuando la entrada es $\delta(t)$ (ecuación siguiente).
\begin{equation}\label{eq:delta_tau}
\delta (t - \tau ) \to h(t - \tau )
\end{equation}
De esa forma, a partir de la linealidad del sistema y añadiendo la invarianza al tiempo, llegamos a la integral de convolución mostrada en la ecuación siguiente, con la cual podemos afirmar que un SLTI está por completo caracterizado si conocemos su respuesta al impulso $h(t)$.
\begin{equation}\label{eq:conv_continua}
y(t) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {x(\tau )} h(t - \tau )d\tau
\end{equation}
Una notación alternativa de la convolución es mostrada en la siguiente ecuación.
\begin{equation}\label{eq:conv_continua_alta}
y(t) = x(t)*h(t)
\end{equation}
Referencia: Oppenheim, A., Willsky,A., Nawab, S. (1996). Signals and Systems (2nd Ed.). Prentice-Hall. Upper Saddle River, NJ, USA.
Convolución discreta
Una de las propiedades más importantes de los sistemas es la linealidad. Esta propiedad a su vez se divide en dos propiedades conocidas como propiedad aditiva y propiedad de escalamiento. La propiedad aditiva establece que si al sistema ingresa la suma de varias señales, la respuesta del sistema será la suma de las respuestas a cada una de las entradas individuales.
La propiedad de escalamiento u homogeneidad establece que si una señal $x(t)$ tiene como respuesta una señal $y(t)$, al ser escalada la entrada (o multiplicada por una constante) $\alpha x(t)$, su salida será también escalada por la misa constante $\alpha y(t)$. Juntas, la propiedad de escalamiento y la aditiva se conocer como propiedad de superposición, la cual se sintetiza en la siguiente ecuación.
\begin{equation}\label{eq:superpos_1}
\alpha {x_1}\left( t \right) + \beta {x_2}\left( t \right) \to \alpha {y_1}\left( t \right) + \beta {y_2}\left( t \right)
\end{equation}
Otra de las propiedad importante de los sistemas es la propiedad de invarianza la tiempo, detallada en la siguiente ecuación.
\begin{equation}\label{eq:inv_tiempo}
\begin{matrix}
{x\left( t \right) \to y\left( t \right)} \cr
{x\left( {t - {t_0}} \right) \to y\left( {t - {t_0}} \right)} \cr
\end{matrix}
\end{equation}
En sí, un sistema es invariante al tiempo cuando una desplazamiento en la señal de entrada produce el mismo desplazamiento en la señal de salida o respuesta del sistema. Es decir, el sistema no cambia sus características a lo largo del tiempo.
Cuando un sistema cumple con la propiedad de linealidad (o propiedad de superposición) y la propiedad de ser invariante al tiempo se conoce como sistema lineal e invariante al tiempo, abreviado como SLTI. Muchos sistemas empleados en comunicaciones son SLTI. De ahí la importancia de conocer las características de este tipo de sistema y la forma de encontrar la respuesta del mismo o salida del sistema.
Para un sistema discreto, la forma de encontrar la salida de este sistema es a través de una operación conocida como suma de convolución. Para llegar a este resultado, lo primero es representar la señal discreta $x[n]$ como una combinación lineal del impulsos desplazados ponderados.
\begin{equation}\label{eq:impulso_des_pond}
x\left[ n \right] = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ k \right]\delta [n - k]}
\end{equation}
Dado que el sistema es lineal, la respuesta será también una combinación lineal, pero de las respuestas a cada una de las entradas individuales. Como la señal ha sido representada como una suma de señales impulso, la respuesta a esta señal se asigna de la siguiente manera:
\begin{equation}\label{eq:impulso_des_pond2}
\delta [n - k] \to {h_k}[n]
\end{equation}
De esa forma, la salida total del sistema será la superposición de las salidas a cada una de las entradas.
\begin{equation}\label{eq:impulso_des_pond3}
y\left[ n \right] = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ k \right]{h_k}[n]}
\end{equation}
Si el sistema es invariante al tiempo, la respuesta a un impulso desplazado será la misma respuesta a un impulso en $n=0$ simplemente desplazada.
\begin{equation}\label{eq:impulso_des_pond4}
\delta [n - k] \to {h_0}[n - k]
\end{equation}
De esa forma, la salida del sistema es calculada con la siguiente ecuación, que es conocida como la suma de convolución o convolución discreta.
\begin{equation}\label{eq:impulso_des_pond5}
y\left[ n \right] = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ k \right]h[n - k]}
\end{equation}
Referencia: Oppenheim, A., Willsky,A., Nawab, S. (1996). Signals and Systems (2nd Ed.). Prentice-Hall. Upper Saddle River, NJ, USA.
Impulso y escalón unitarios
Suscribirse a:
Entradas (Atom)
