Convolución continua

La convolución en tiempo continuo deriva en una integral. Semejante al caso discreto, el primer paso para llegar a esta importante ecuación es representar la señal continua $x(t)$ como una combinación lineal de impulsos ponderados desplazados. Recordando que el impulso continuo es definido como el límite de la señal $\delta_{\Delta}(t)$, cada función rectangular $\delta_{\Delta}(t)$ tiene un área $x(k\Delta)\delta_{\Delta}(t-k\Delta)\Delta$, siendo que tiene una base $\Delta$ y una altura igual a la amplitud de la señal en ese punto en particular. De ese modo, la señal escalonada $\tilde x\left( t \right)$ queda representada con la siguiente ecuación:

\begin{equation}\label{eq:x_escalonada} \tilde x\left( t \right) = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {x(k\Delta ){\delta _\Delta }\left( {t - k\Delta } \right)} \Delta \end{equation}

Cuando en esta última ecuación el valor de $\Delta$ tiende al infinito, la sumatoria se convierte en una integral, $\Delta$ en un diferencial y $\delta_{\Delta}$ deriva en la función impulso unitario continuo $\delta(t)$. Por tanto, la señal escalonada $\tilde x\left( t \right)$ en el límite representa la señal $x(t)$.

\begin{equation}\label{eq:x_escalonada1} x(t) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta \to 0} \tilde x\left( t \right) \end{equation} \begin{equation}\label{eq:x_escalonada2} x(t) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta \to 0} \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {x(k\Delta ){\delta _\Delta }\left( {t - k\Delta } \right)} \Delta = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x(\tau )} \delta (t - \tau )d\tau \end{equation} \begin{equation}\label{eq:x_escalonada3} x(t) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x(\tau )} \delta (t - \tau )d\tau \end{equation}

Esta ecuación representa la señal continua $x(t)$ como una combinación lineal de impulsos desplazados ponderados. También se conoce como propiedad de selección y es una representación de la señal $x(t)$ como la suma de impulsos continuos ponderados y desplazados. (La ponderación significa que el impulso es multiplicado por una constante.)

Podemos mostrar que esta ecuación representa a $x(t)$ cuando $\Delta$ tiende a $0$.

\begin{equation}\label{eq:x_de_tau} \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x(\tau )\delta (t - \tau )d\tau } = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x(t)\delta (t - \tau )d\tau } = x(t)\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\delta (t - \tau )d\tau } = x(t) \end{equation}

Notar que aplicamos la propiedad de que si una función se multiplica por un impulso desplazados, el resultado será la función evaluada en el desplazamiento del impulso multiplicada por el impulso ($x(t)\delta (t - {t_0}) = x({t_0})\delta (t - {t_0})$). Una vez hecho esto, basta notar que $x(t)$ sale de la integral ya que no es función de $\tau$ y la integral del impulso es igual a 1.

Una vez que la señal de entrada $x(t)$ ha sido descompuesta o representada como una combinación lineal de impulsos continuos desplazados y ponderados, se puede calcular la respuesta de un sistema LTI a esta entrada $x(t)$. Denominamos $\hat y(t)$ como la salida o respuesta del sistema cuando la entrada es la señal $\tilde x$. Ésta respuesta corresponde a la superposición de las respuestas a las versiones escaladas y desplazadas de $\delta_\Delta(t)$, mostrada en la siguiente ecuación.

\begin{equation}\label{eq:resp_delta} {\delta _\Delta }\left( {t - k\Delta } \right) \to {{\hat h}_{k\Delta }}\left( t \right) \end{equation} \begin{equation}\label{eq:y_sombrero} \hat y(t) = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {x(k\Delta )} {{\hat h}_{k\Delta }}\left( t \right)\Delta \end{equation}

Dado que $x(t) = \mathop {lim}\limits_{\Delta \to 0 } \hat x(t)$, en consecuencia $y(t) = \mathop {lim}\limits_{\Delta \to 0 } \hat y(t)$. Cuando $\Delta \to 0$, la duración de ${\delta _\Delta }\left( {t - k\Delta } \right)$ no es significativa, así, la respuesta a esta señal será la respuesta a un impulso unitario en el mismo instante de tiempo. De esta forma ${{\hat h}_{k\Delta }}\left( t \right)$ se convierte en la respuesta al impulso en el límite. Si $\delta (t - \tau ) \to {h_\tau }(t)$, entonces la salida queda determinada por la ecuación siguiente.

\begin{equation}\label{eq:y_limite} y(t) = \mathop {lim}\limits_{\Delta \to 0} \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {x(k\Delta )} {{\hat h}_{k\Delta }}\left( t \right)\Delta \end{equation}

Conforme $\Delta \to 0$, la sumatoria se convierte en una integral, dando como resultado la ecuación mostrada a continuación.

\begin{equation}\label{eq:conv_temp} y(t) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {x(\tau )} {h_\tau }(t)d\tau \end{equation}

Esta ecuación representa la superposición de las respuestas para un sistema lineal a cada una de las entradas cuando $x(t)$ es representado como la ecuación $\tilde x$.

Si el sistemas lineal también es un sistema invariante al tiempo, las respuesta a impulsos desplazados serán respuestas desplazadas del impulso $\delta(t)$, conforme la ecuación siguiente.

\begin{equation}\label{eq:sist_inv_temp} {h_\tau }(t) = {h_0}(t - \tau ) \end{equation}

En otras palabras, cuando el sistema es lineal e invariante al tiempo (SLTI), la respuesta de este sistema cuando la entrada es $\delta(t-\tau)$, es una versión desplazada en $\tau$ de la respuesta del sistema cuando la entrada es $\delta(t)$ (ecuación siguiente).

\begin{equation}\label{eq:delta_tau} \delta (t - \tau ) \to h(t - \tau ) \end{equation}

De esa forma, a partir de la linealidad del sistema y añadiendo la invarianza al tiempo, llegamos a la integral de convolución mostrada en la ecuación siguiente, con la cual podemos afirmar que un SLTI está por completo caracterizado si conocemos su respuesta al impulso $h(t)$.

\begin{equation}\label{eq:conv_continua} y(t) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {x(\tau )} h(t - \tau )d\tau \end{equation}

Una notación alternativa de la convolución es mostrada en la siguiente ecuación.

\begin{equation}\label{eq:conv_continua_alta} y(t) = x(t)*h(t) \end{equation} Referencia: Oppenheim, A., Willsky,A., Nawab, S. (1996). Signals and Systems (2nd Ed.). Prentice-Hall. Upper Saddle River, NJ, USA.