La convolución es una operación que involucra tres señales: $x(t)$ o $x[n]$ como entrada al sistema, $h(t)$ o $h[n]$ como respuesta al impulso y $y(t)$ o $y[n]$ como salida o respuesta del sistema. Para un SLTI, éste es caracterizado por completo por la función $h(t)$ o $h[n]$. En otras palabras, la convolución es la operación que permite calcular la salida (o respuesta) de cualquier sistema lineal e invariante al tiempo para cualquier entrada a través de la respuesta al impulso.
La convolución posee varias propiedades.
Propiedad conmutativa
La convolución es una operación conmutativa, es decir, da el mismo resultado convolucionar la entrada con la respuesta al impulso que la respuesta al impulso por la entrada. Esta propiedad se muestra en las siguientes ecuaciones.
\begin{equation}\label{eq:conv_continua_pr}
x[n]*h[n] = h[n]*x[n] = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {h[k]x[n - k]}
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:conv_disc_pr}
x(t)*h(t) = h(t)*x(t) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {h(\tau )x(t - \tau )d\tau }
\end{equation}
Esta propiedad es de gran utilidad cuando se realiza la convolución de forma gráfica debido a qué se puede seleccionar la señal más fácil de dibujar para que sea la que se desplace (aquella con argumento $t-\tau$ o $k-n$).
Propiedad distributiva
La propiedad distributiva mostrada en las ecuaciones siguientes, permite reemplazar un sistema paralelo en un equivalente de un solo sistema.
\begin{equation}\label{eq:conv_continua_dist}
x[n]*({h_1}[n] + {h_2}[n]) = x[n]*{h_1}[n] + x[n]*{h_2}[n]
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:conv_disc_dist}
x(t)*({h_1}(t) + {h_2}(t)) = x(t)*{h_1}(t) + x(t)*{h_2}(t)
\end{equation}
Propiedad asociativa
Esta propiedad, mostrada en las ecuaciones siguientes, muestra que la respuesta del sistema completo no depende del orden de los sistemas en cascada.
\begin{equation}\label{eq:conv_continua_asoc}
x[n]*({h_1}[n]*{h_2}[n]) = (x[n]*{h_1}[n])*{h_2}[n]
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:conv_disc_asoc}
x(t)*({h_1}(t)*{h_2}(t)) = (x(t)*{h_1}(t))*{h_2}(t)
\end{equation}
Referencia: Oppenheim, A., Willsky,A., Nawab, S. (1996). Signals and Systems (2nd Ed.). Prentice-Hall. Upper Saddle River, NJ, USA.
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